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viernes, 3 de diciembre de 2010

¿¿¿¿¿¿Despedidas??????

Bueno queridos lectores, queridos compañeros, querido profesor ya el año termina los alumno se esmeran en dar lo mejor de sí, los profesores van sacando el promedio del 4to bimestre y ya se acaba el maravilloso proyecto de mate 2 que propuso el profesor Daniel Yalta.
La verdad los primeros 3 bimestres no tome mate 2 con la importancia de este curso y sus cosas que son importantes para la vida, ahora tengo que pagar “caro” mi error, la verdad no tan caro ya que hubo algo este bimestre que lo hiso especial, único e interesante y que despertó en nosotros los alumnos de 4to de secundaria una inquietud por saber más del curso. Ese “algo” fue nuestro proyecto para hacer nuestro propio blog de matemática 2, desde ahí empezamos a competir para ver qué grupo colgaba más cosas, pero no solo cantidad sino también calidad ya que si lo colgado no te servía para el curso simplemente no leías, obvio esta que también la competencia por la nota.
Pero bueno lo bueno de este proyecto es que nos dimos cuenta de que en matemáticas hay un montón de conocimientos algunos todavía faltan por descubrir pero mientras tanto hay que tratar de entender la gran variedad que tenemos ahora.
Muchas gracias Daniel Yalta por hacer que el curso de mate 2 sea diferente de muy buena manera a otros años.
Por Ivo Goytizolo.

lunes, 29 de noviembre de 2010

Elementos del cono

Cono

Eje

Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.

Base

Es el círculo que forma el otro cateto.

Altura

Es la distancia del vértice a la base.

Generatriz

Es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Generatriz del cono
Por el teorema de Pitágoras la generatriz del cono será igual a:
Generatriz
Generatriz del cono

Área lateral de un cono

área y  volumen

Área de un cono

Área de un cono

Volumen de un cono

área y  volumen

Ejercicios de conos

Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
cono

solución
solución
Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.
cono

área
área
generatiz
generatiz
volumen
Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.
cono

generatiz
generatiz
área
área
volumen
 
                                                                                                                                
Bryan Delgado Sanchez
4:"D"              Nº:13

miércoles, 10 de noviembre de 2010

trigonometría esferíca

La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros.

La esfera

Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de R3 definido por todos aquellos puntos en el espacio tridimensional que cumplen con la siguiente definición:

Círculo máximo

La intersección de una esfera con un plano que contenga su centro genera un círculo máximo y una circunferencia máxima sobre la superficie de la esfera. Un círculo máximo divide a la esfera en dos hemisferios iguales. La distancia entre dos puntos de la superficie de la esfera, unidos por un arco de círculo máximo, es la menor entre ellos y se denomina distancia ortodrómica.
Como ejemplos de círculos máximos en la superficie de la Tierra tenemos los meridianos o la línea del ecuador.

Volumen y superficie de la esfera

El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un recinto circular que gira alrededor del diámetro. Según esta definición, si su radio es r, su volumen será:
La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución y vendrá dada por:

Dominio sobre la superficie esférica

Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie.

Triángulo esférico

Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < + + < 540°

Fórmulas fundamentales

:ángulo formado entre los arcos AC y AB
:ángulo formado entre los arcos AB y BC
:ángulo formado entre los arcos AC y BC

Fórmula del coseno

Fórmula del seno

Los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Fórmula de la cotangente

La fórmula de la cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos:
ángulo ; lado AB; ángulo ; lado BC.
Cosenos de los elementos medios, es igual a: seno del ángulo medio por la cotangente del otro ángulo, menos seno del lado medio por la cotangente del otro lado.

Fórmula de Bessel

Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de inmediato un conjunto de varias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno" o también denominadas Fórmulas de Bessel, o tercera fómula de Bessel. Fueron deducidas por primera vez por el gran matemático Friedrich Wilhelm Bessel (Westfalia, Alemania, 1784-Kaliningrado, Rusia, 1846).
cos a / k = cos b / k · cos c / k + sen b / k · sen c / k · cos A
cos b / k = cos c / k · cosa / k + sen c / k · sen a / k · cos B
cos c / k = cos a / k · cosb / k + sen a / k · sen b / k · cos C
El conjunto de las fórmulas de Bessel puede escribirse, para la esfera de radio unidad, esto es, la esfera trigonométrica, de la forma:
sen c · cos B = cos b · sen a - cos a · sen b · cos C
sen c · cos A = cos a · sen b - cos b · sen a · cos C
sen b · cos A = cos a · sen c - cos c · sen a · cos B
sen b · cos C = cos c · sen a - cos a · sen c · cos B
sen a · cos B = cos b · sen c - cos c · sen b · cos A
sen a · cos C = cos c · sen b - cos b · sen c · cos A

Presentación matricial de las fórmulas del triángulo esférico

El conjunto de las fórmulas del seno, del coseno (llamadas por algunos segunda y primera fórmula de Bessel), y la (tercera) fórmula de Bessel, pueden expresarse de forma matricial:

[siendo a, b, y c los lados y A, B, y C los ángulos del triángulo esférico]

Triángulo esférico rectángulo

Al triángulo esférico con al menos un ángulo recto, se lo denomina triángulo rectángulo. En un triángulo esférico sus tres ángulos pueden ser rectos, en cuyo caso su suma es 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180° y a ese exceso se lo denomina exceso esférico; se expresa por la fórmula: E: E = + + − 180°.
Cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dos triángulos esféricos rectángulos.
Pentágono de Neper

El pentágono de Neper es una regla nemotécnica para resolver triángulos esféricos rectángulos; toma este nombre en memoria del científico inglés John Napier, y se construye de la siguiente forma:
Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto - ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecen ordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C.
Se remplazan los ángulos B, C, y la hipotenusa a por sus complementarios:
B por (90° - B)
C por (90° - C)
a por (90° - a)
Se establecen dos reglas:
  • el seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes:
seno(a) = tg(b) tg(90° - B), o su equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B)
  • el seno de un elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos:
seno(a) = coseno(90° - A) coseno(90° - c), o su equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)
Comentario:
Este tema es muy extenso y complicado, por eso llamo mi atención y pensé que también sería del agrado de muchos de ustedes. Espero que lo disfruten y aprovechen al máximo.
Rafael Calagua

Una curiosidad muy curiosa!

Las pirámides de números constituyen algunas de las curiosidades matemáticas más sorprendentes. En ellas los número impares tienen gran protagonismo…
piramides de mumeros
En cada fila diagonal, leída de izquierda a derecha y de arriba a abajo, se muestran lo 5 números impares primarios. La suma de las cifras que quedan situadas en sentido horizontal es igual al cuadrado de 1, de 2, de 3, de 4 y de 5 respectivamente.curiosidades matematicas Esta pirámide muestra, de arriba hacia abajo los 15 primeros números impares. El resultado de sumar las cifras que quedan situadas en sentido horizontal es igual al cubo de 1, de 2, de 3, de 4 y de 5 respectivamente.
curiosidad matematica
Esta curiosidad desperto en nosotros una gran sorpresa ya que no sabiamos que los algoritmos se podian aplicar de esta manera.

Bryan Delgado

Cono truncado

El cono truncado o tronco de cono es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.
Desarrollo de un tronco de cono

Elementos del cono truncado

tronco de cono
La sección determinada por al corte es la base menor.
La altura es el segmento que une perpendicularmente las dos bases
Los radios son los radios de sus bases.
La generatriz es el segmento que une dos puntos del borde de las dos bases.
Generatriz del tronco de cono
Obtenemos la generatriz del cono truncado aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:
Generatriz
Generatriz del tronco de cono

Área lateral de un cono truncado

Área lateral de un tronco de cono

Área de un cono truncado

Área de un tronco de cono

Volumen de un cono truncado

Volumen de un tronco de cono

Ejemplos

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.
Generatriz del tronco de cono
Generatriz
solución
solución
solución
solución
Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.
Generatriz del tronco de cono
solución
solución
altura
solución
solución


Piero Gordillo Santos
4:"D"              Nº:16

jueves, 4 de noviembre de 2010

EL MISTERIO DEL NUMERO 23:

El hombre tiene 23 pares de cromosomas y el número 23 es el que determina el género, la columna vertebral se compone de 23 discos, Julio César fue apuñalado 23 veces, el alfabeto latino tiene 23 letras, según la teoría de biorritmos el mundo sigue un cíclo físico de 23 días, la Tierra tiene una inclinación de 23º y medio, un 23 nació Shakespeare, otro 23 murió coincidiendo con Cervantes, 23 eran los Grandes Maestros Templarios, Michael Jordan triunfó con el 23 en la espalda, como Beckham, en España un 23F hubo un intento de golpe de Estado, la Play3 sale a la venta en Europa, Latinoamérica y Oceanía hoy día… 23, el 23 es uno de los números de la misteriosa secuencia que aparece en Perdidos (Lost), el Titanic se hundió el 15 de abril de 1912 (1+5+4+1+9+1+2=23) y así se podría seguir durante horas.
Como puedes comprobar hay una larga historia alrededor de este peculiar número primo, que cuenta con muchos seguidores y detractores. Así, hay quien se reune días como hoy para celebrarlo mediante cánticos y bailes rituales que posiblemente atraigan tormentas más que otra cosa. Ahora que si de esta forma dejan el cielo despejado y tenemos buen tiempo en Semana Santa, bienvenidos sean estos ritos.
OTRA FUENTE :
*Los padres contribuyen cada 1 con 23 cromosomas al ADN de sus hijos
*A la sangre le toma 23 segundos circular alrededor del cuerpo
*En los seres humanos el cromosoma 23 es el q determina el genero
*Existen 23 letras n el alfabeto latino
*Julio Cesar fue apuñalado 23 veces cuando fue asecinado
*El eje de la tierra se aleja en 23,5 grados
*Eran 23l os grandes maestros del orden del temple
*William Shakespeare nació el 23 de abril de 1564
*William Shakespeare murió el 23 de abril de 1616
*Los antiguos calendarios egipcios y sumerios comienzan el 23 de julio
*El titanic se undió en la mañana del 15 de Abril de 1912(4+1+5+1+9+1+2=23)
*los mayas creian que el mundo se acabaria el 23 de Diciembre de 2012(20+1+2)
*la distancia desde el centro de marte hasta su luna más cercana es 23.500Km
*230 personas fallecieron en el vuelo 800 de TWA
*Kurt Cobain nació en 1967(1+9+6+7=23)
*Kurt Cobain murió en 1994(1+9+9+4=23)
*Charles manson nació el 12 de nobiembre(12+11=23)

Este numero 23 ah llegado ah ser tan controversial que hay sectas que buscan su significado pero los sicólogos creen que solo es un problema sicológico que se da por la obsesión a ese numero y que dicho numero no esconde misterio alguno.
Tanto ah sido el misterio que se ah echo una película que tiene como centro el numero 23, oviamente el titulo de la película es 23.
Personalmente me parece que el hombre por querer encontrar el numero 23 saca información de cualquier lado y ordena de tal manera en su mente que el numero 23 pueda salir a flote. Pero no se puede evitar la gran participación que tiene este numero en nuestro mundo.
Aca les dejo un link para poder ver la película:
http://www.peliculasyonkis.com/pelicula/el-numero-23-2007/#online

                                                                                                                             Ivo Goytizolo 4 “D” N°17

miércoles, 3 de noviembre de 2010

Teorema de Pitágoras.. un videito

A Continuación les mostramos un video, dedicado al gran maestro griego Pitágoras famoso por su teorema.
 Estos clips son hechos por el licenciado matemático Daniel Perich de la Universidad de Concepción en nuestro país vecino, Chile.


En su página web encontraran un sinfín de temas relacionados a la matemática asi que si tienen alguna pregunta no duden en entrar a su site. Les encantará.
http://www.sectormatematica.cl/danny2.htm

Increibles Coincidencia: Será Cierto??

En los días siguientes al atentado contra las torres del World Trade Center (11 de septiembre de 2001) circuló por Internet esta curiosa muestra de numerología:

Las Torres Gemelas, juntas, parecían el número 11
Fecha del ataque: 11/9; 1 + 1 + 9 = 11
La fecha coincide con el número de emergencia estadounidense el 911. Que sumado 9+1+1=11.
El 11 de septiembre fue el día 254 del año; 2 + 5 + 4 = 11([1])
Rascacielos (y también en inglés, skyscrapers) tiene 11 letras
El prefijo telefónico de USA es 1
El prefijo de Nueva York es 201; luego para llamar desde fuera a Nueva York hay que marcar 1201; y 12 – 01 = 11
El Estado de Nueva York fue el Estado no 11 en adherirse a la Unión estadounidense...
El código de área para llamadas a IRAK es 119, que sumado da 1+1+9=11.
El primero de los vuelos estrellados contra las Torres Gemelas era el Nº 11.
El vuelo Nº 11 llevaba a bordo 92 personas, y sumando las cifras da 9+2= 11.
El vuelo Nº 77, que también se estrelló, llevaba a bordo 65 personas, que sumando dan 6+5 = 11.
A partir del 11 de septiembre restan 111 días para que finalice el año[2].
El famoso Nostradamus (11 letras) profetiza la destrucción de Nueva York en la centuria número 11 de sus versos...

New York City tiene 11 letras
Afghanistan: tiene 11 letras
Guerra Santa: tiene 11 letras
The Pentagon: tiene 11 letras
Colin Powell: tiene 11 letras
Mohamed Atta×: tiene 11 letras
Dick Chenney: tiene 11 letras
George W. Bush: tiene 11 letras
Ramsin Yuseb (terrorista que atentó contra las Torres Gemelas en 1993) tiene 11 letras.

Es algo realmente fascinante. Gente vean esto y se quedaran perplejos. 


Por Daniel Arce M.
 

Cinta de Mobius.. Algo que ver con insectos?

En 1858, August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing dos matemáticos alemanes desarrollaron al mismo tiempo este serio problema para las hormigas. Estas  acostumbradas a llevarse todo a su  hormiguero no pudieron con este invento matemático, no podían bajarse de ella para poder arrastrarla.  Estos insectos no sabían que la cinta de fácil construcción: se toma una cinta de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos y queda con un solo borde.
Se dice que una hormiga que se desliza sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Así que, además, de ser un fundamento muy importante de la topología, rama de la matemática que tiene como objeto el estudio de las propiedades de las figuras geométricas que persisten incluso cuando las figuras son sometidas a deformaciones tan  drásticas que hacen que todas las propiedades métricas y proyectivas se pierdan, es un buen juego para engañar a  estos laboriosos insectos, las hormigas.

Por Daniel Arce

martes, 2 de noviembre de 2010

Las Matemáticas en la Biblia I

Publicado por David Yataco:

 EN LA NUMEROLOGÍA BÍBLICA
Siete Significa lo que está completo por determinación divina, referido a los propósitos de Dios.

  • Génesis 2:2 Y para el día Séptimo, Dios vio por terminada su obra que había hecho, y procedió a descansar en el día séptmo de toda su obra que había hecho.
  • Daniel 4:16 Sea cambiado su corazón del de la humildad y que se le de el corazón de una bestia y pasen siete tiempos sobre él.
  • Revelación 1:4 Juan a las siete congregaciones que están en el distrito de Asia: "Que tengan bondad inmerecida y paz de parte de "aquel que es y que era y que viene" y de los siete espiritus que están delante de su trono".
  • Revelación 1:20 (leer la biblia para saber)
  • Revelación 5:1  (leer la biblia para saber)
  • Revelación 8:2   (leer la biblia para saber)
  • Revelación 10:7  (leer la biblia para saber)
El número 12 es considerado como símbolo de organización divina

  • Génesis 17:20 Pero tocante a Ismael te he oído. ¡Mira! Ciertamente lo bendeciré y lo haré fructífero y lo multiplicaré muchísimo. Ciertamente producirá él doce príncipes, y de veras haré que llegue a ser una nación grande.
  • GENESIS 49:28 Todos estos son las doce tribus de Israel, y esto es lo que les habló su padre cuando estuvo bendiciéndolos. Bendijo a cada uno conforme a su propia bendición.
  • 1 REYES 4:7 Y Salomón tenía doce comisarios sobre todo Israel, y ellos proveían de alimento al rey y su casa. Le tocaba a cada uno proveer el alimento un mes al año.
  • EZEQUIEL 43:16  (leer la biblia para saber)
  • MATEO 10:1       (leer la biblia para saber)
  • MATEO 14:20   (leer la biblia para saber)
  • MATEO 19:28   (leer la biblia para saber)
  • JUAN 11:9         (leer la biblia para saber)
  • Revelación 12:1   (leer la biblia para saber)

EN LA CRONOLOGÍA BÍBLICA  

Tres tiempos y medio es considerado como un espacio de tiempo que afecta directamente a los "Santos de Dios".

  •  DANIEL 7: 25 Y hablará hasta palabras contra el Altísimo, y hostigará continuamente a los santos del Supremo. Y tendrá intención de cambiar tiempos y ley, y ellos serán dados en su mano por un tiempo, y tiempos y la mitad de un tiempo.
  • DANIEL 12: 7 Y empecé a oír al hombre que estaba vestido del lino, quien estaba arriba sobre las aguas de la corriente, mientras él procedió a levantar la [mano] derecha y la [mano] izquierda a los cielos y a jurar por Aquel que está vivo para tiempo indefinido: "Será por un tiempo señalado, tiempos señalados y medio. Y tan pronto como haya habido un fin del hacer añicos el poder del pueblo santo, todas estas cosas llegarán a su fin".
  • SANTIAGO 5: 17 Elías era hombre de sentimientos semejantes a los nuestros, y, no obstante, en oración oró que no lloviera, y no llovió sobre la tierra por tres años y seis meses.
  • REVELACIÓN 12: 6    (leer la biblia para saber)
  • REVELACIÓN 12:14    (leer la biblia para saber)
  • REVELACIÓN 11:2      (leer la biblia para saber)
  • REVELACIÓN 11:3     (leer la biblia para saber)

Todas las generaciones desde Abrahán hasta David fueron catorce generaciones, y desde David hasta la deportación a Babilonia, catorce generaciones, y desde la deportación a Babilonia hasta el Cristo, catorce generaciones.









2016/14=144
2016/28=72
2016/42=48

2016 es divisible entre 14 28 y 42.













Tiempo, tiempos = 2016
Medio tiempo = 336
Tiempo, tiempos, medio tiempo = 2016+336=2352


336/14=24                                                2352/14=168
336/28=12                                                2352/28=84
336/42=8                                                  2352/42=56

336 y 2352 son divisibles por 14 28 y 42.


El hecho 2016, 336 y 2352 divisibles por 14, 28 y 42, garantiza que ellos también sean divisibles por 7 y 12.
  • 2016 es 168 veces 12
  • 2016 es 288 veces 7
  • 336 es 28 veces 12
  • 336 es 48 veces 7
  • 2352 es 196 veces 12
  • 2352 es 336 veces 7

    Comentario: Me parece que las matemáticas juegan un rol muy importante en la vida de todos y están donde uno menos lo piensa, tal como lo vemos aca, también quiero agregar que esto solo es la primera parte, ya que voy a continuar con una segunda parte.

EL SECRETO DEL BILLAR ESTA EN LA GEOMETRÍA

Si hay un deporte en el que los ángulos juegan un papel fundamental, ese es el billar. De hecho, para los grandes billaristas lo básico para practicarlo con éxito no es tener un buen golpe de muñeca, sino poseer unas nociones básicas de geometría para saber elegir qué golpe dar. Eso sí, no es el único deporte donde juega un papel importante, el estudio de los ángulos ha estado presente en la vida cotidiana del ser humano desde la antigüedad.
Por ejemplo, los egipcios ya calculaban con precisión el ángulo de sus pirámides para garantizar la resistencia de sus paredes. Si nos atenemos a su definición, un ángulo es la región del plano que queda limitada por dos semirrectas que cortan en un mismo punto. Esas dos semirrectas son los lados del ángulo, y el punto común es el vértice. Al prolongar los dos lados del ángulo el plano quedará dividido en cuatro regiones, y en función del espacio que abarque el ángulo diremos que es cóncavo, si abarca tres de las cuatro regiones, o convexo, que abarca sólo una de las cuatro regiones.
Por último, también se puede hablar de tres casos en que el ángulo recibe un nombre propio: nulo si la semirrecta generatriz está en la posición inicial; llano si las posiciones inicial y final están en la misma recta; o completo si las posiciones inicial y final de la semirrecta coinciden.
Comentario:
Esta entrada me pareció muy interesante y curiosa, ya que si bien es cierto que para cualquier deporte se requiere de ardua práctica, también es requerido cierto conocimiento del deporte; y en este caso dichos conocimientos son matemáticos.

, en la cual pueden divertirse jugando una réplica de este deporte.

Rafael Antonio Calagua Bedoya.

sábado, 30 de octubre de 2010

Poliedros

David Yataco López.


Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.




Estos estan compuestos como se puede ver en la imagen por caras, aristas y aristas, etc:

Relación de Euler:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2

Exite también poliedros convexos y cóncavos:

Poliedro convexo

dibujoEn un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Poliedro cóncavo

dibujoEn un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante
Los más interesantes Son Los Poliedros Regulares:
Se dice que un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos regulares iguales y sus ángulos poliedros tienen el mismo número de caras.
Únicamente existen cinco poliedros regulares convexos, puesto que las sumas de las caras de un ángulo poliedro tiene que ser forzosamente menor que 360º.
No puede constituirse ningún poliedro regular con más de cinco caras concurrentes en un mismo vértice, puesto que si tuviera seis caras tendríamos que 6 x 60º = 360º.

  • Tetraedro. Tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 3 x 60º = 180º < 360º.




  • Octaedro. Tiene cuatro caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 4 x 60º = 240º < 360º.




  • Icosaedro. Tiene cinco caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 5 x 60º = 300º < 360º.
    Tomando como caras, cuadrados, se puede construir otro poliedro regular, el hexaedro o cubo, que tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 3 x 90º = 270º < 360º.
    Tomando como caras, pentágonos regulares, se puede constituir otro poliedro regular, el dodecaedro regular, que tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice. 3 x 108º = 324º < 360º.
    Así pues solo existen cinco poliedros regulares, que reciben sus nombres de acuerdo con el número de caras:
    Tetraedro 4 caras.
    Hexaedro 6 caras.
    Octaedro 8 caras.
    Dodecaedro 12 caras.
    Icosaedro 20 caras.





  • Tetraedro:

    dibujoDesarrollo del tetraedro

    Hexaedro o cubo:

    dibujoDesarrollo del Cubo

    Octaedro:

    dibujoDesarrollo del octaedro

    Dodecaedro:

    dibujoDesarrollo del dodecaedro

    Icosaedro:

    dibujoDesarrollo del icosaedro