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sábado, 30 de octubre de 2010

Poliedros

David Yataco López.


Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.




Estos estan compuestos como se puede ver en la imagen por caras, aristas y aristas, etc:

Relación de Euler:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2

Exite también poliedros convexos y cóncavos:

Poliedro convexo

dibujoEn un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Poliedro cóncavo

dibujoEn un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante
Los más interesantes Son Los Poliedros Regulares:
Se dice que un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos regulares iguales y sus ángulos poliedros tienen el mismo número de caras.
Únicamente existen cinco poliedros regulares convexos, puesto que las sumas de las caras de un ángulo poliedro tiene que ser forzosamente menor que 360º.
No puede constituirse ningún poliedro regular con más de cinco caras concurrentes en un mismo vértice, puesto que si tuviera seis caras tendríamos que 6 x 60º = 360º.

  • Tetraedro. Tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 3 x 60º = 180º < 360º.




  • Octaedro. Tiene cuatro caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 4 x 60º = 240º < 360º.




  • Icosaedro. Tiene cinco caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 5 x 60º = 300º < 360º.
    Tomando como caras, cuadrados, se puede construir otro poliedro regular, el hexaedro o cubo, que tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 3 x 90º = 270º < 360º.
    Tomando como caras, pentágonos regulares, se puede constituir otro poliedro regular, el dodecaedro regular, que tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice. 3 x 108º = 324º < 360º.
    Así pues solo existen cinco poliedros regulares, que reciben sus nombres de acuerdo con el número de caras:
    Tetraedro 4 caras.
    Hexaedro 6 caras.
    Octaedro 8 caras.
    Dodecaedro 12 caras.
    Icosaedro 20 caras.





  • Tetraedro:

    dibujoDesarrollo del tetraedro

    Hexaedro o cubo:

    dibujoDesarrollo del Cubo

    Octaedro:

    dibujoDesarrollo del octaedro

    Dodecaedro:

    dibujoDesarrollo del dodecaedro

    Icosaedro:

    dibujoDesarrollo del icosaedro

    viernes, 29 de octubre de 2010

    Teorema de poliedros de Euler

                                                                                                                                           Bryan Delgado S.

    En 1750 Leonhard Euler publicó su teorema de poliedros, el cual indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo (sin orificios, ni entrantes) cualquiera, en el que también concluye que sólo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellos una serie de relaciones:
    1. C + V = A + 2
    2. 1/n = (1/A)+(1/6)
    3. 1/r = (1/A)+(1/6)
    4. n*C = 2A
    5. r*V = 2A
    6. (2A/r) - A + (2A/n) = 2
    7. (1/n) + (1/r) = (1/2) + (1/A)
    Donde:
    C = Número de caras
    V = Número de vértices
    A = Número de aristas
    n = Número de lados del polígono regular
    r = Número de aristas que convergen en los vértices
    La relación (1) sigue cumpliéndose para todos los poliedros convexos.

    jueves, 28 de octubre de 2010

    RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA # 6 DE LA SEPARATA DE CONTEO (RM):

    - Un cubo de madera se pinta totalmente de rojo y luego se divide en 64 cubitos iguales. Si “x” de los cubitos quedan con tres de sus caras pintadas de rojo y “Z” cubitos quedan totalmente sin pintar, calcular(x+z).                         
              
    Nos damos cuenta que x = 8, ya que los 8 cubitos ubicados en las esquinas son pintadas tres de sus caras.

    LUEGO:
    . # Vértices: 8 à tiene 3 caras pintadas.
    . Caras: 1 pintada.
    . # Aristas: 12 à 2 caras pintadas.
    POR LO TANTO:
    3 caras pintadas
    à
    8
    2 x 12 = 24
    4 x 6 = 24
    ESTO DA COMO SUMA: 56
    LA DIFERENCIA ES: 64 – 56 = 8 = Z

    FINALMENTE:
    X = 8 | Z = 8
    à POR LO TANTO:
    (X + Z) = 8 + 8 = 16 (Respuesta)

    COMENTARIO:

    Bueno este problema tiene cierto grado de complejidad, espero que con el granito de arena que nuestro blog busca aportar logremos que sus dudas sean aclaradas de manera concreta y breve.

    Este problema me ayudo a comprender que muchas veces uno al mirar un objeto de frente puede sacar conclusiones apresuradas, pero al observarlo por todos sus lados y analizar bien su forma y elementos que lo conforman, obtendrá otra perspectiva y se dará cuenta que gran parte de sus conclusiones fueron erróneas.


    Rafael Calagua Bedoya.

    PAPIROFLEXIA Y POLIEDROS

    La papiroflexia, muy conocido también como origami es el arte de hacer figuras reconocibles utilizando papel plegado.
    La papiroflexia modular consiste en la representación de poliedros y figuras geométricas  utilizando varios papeles que darán lugar a piezas individuales que llamaremos módulos.
    Módulos de tipo Sonobè: poliedros estrellados
    Son probablemente los módulos más populares y se deben al japonés Mitsunobu Sonobè.
    Estos módulos se juntan de 3 en 3 para formar una pirámide con base un triángulo equilátero y con ángulos rectos en el vértice. Son, por lo tanto, muy adecuados para construir poliedros estrellados cuyas caras son triángulos (icosaedro estrellado, octaedro
    estrellado...).
    Podemos considerar que estos módulos pertenecen la familia de las caras, pero no sólo los podemos usar con caras triangulares: podemos juntarlos de 4 en 4, obteniendo como base un cuadrado y sobre él, lo que podríamos denominar una estrellación de segunda especie (cuatro pirámides cuyas bases no caen en un plano). De la misma manera, juntándolos de diversas maneras podemos obtener polígonos con estrellaciones muy barrocas, donde las caras aparecen de una manera más especial, pero con su sentido artístico y estructural.

    El origami es un arte que ha de tomar lugar en Japón y comenzó en el siglo VI, cuando el papel llega a este país proveniente de China. En un principio, era un divertimento de las clases altas, pues eran las que podían conseguir el papel para elaborar uno. Eso cambio, puesto que ahora el origami es parte de toda una cultura en Japón, y porque no en el mundo entero. Esas diferencias entre clases sociales se acabaría, y todo un imperio de papiroflexia se impuso. Es impresionante las formas que puede adaptar un papel plegado con otro. Poder transformar unos pedazos de papel en poliedros es un gran reto, por lo mismo que este es tridimensional, lo que indica más trabajo en moldear los papelitos; no obstante la satisfacción que queda al ver que tu pudiste concluir uno es incomparable.
    -A continuación les paso un video que muestra la elaboración de un origami con forma de un icosaedro.

    (*)Platón...
     en su libro Timeo (ap. 55-56) atribuye a cada uno de estos sólidos uno de los
    cuatro elementos en el pasaje en el que describe la creación del universo.
    Así, el tetraedro es el fuego, el octaedro, el aire, el cubo es la tierra y el
    icosaedro, las moléculas de agua. Finalmente, relata cómo el Creador
    utilizó el dodecaedro para formar el universo. Esta es la razón por la cual
    se les conoce como sólidos platónicos.
                                                                                                                                   PIERO GORDILLO S.
                                                                                                                                               4"D"        Nº:16

    JUEGOS DE INGENIO:

    -En una cárcel hay 50 reos condenados a cadena perpetua, el rector de esa prisión decide hacerles un trato que consiste en lo siguiente: Los dividiré en 2 grupos de 25 y a cada grupo le un casco de color azul y de color rojo respectivamente a cada uno y los ubicare en el pabellón, sin hacer ningún señalamiento ni hablar ni hacer ningún gesto extraño deberán separarse en 2 grupos los del casco azul y los del casco rojo, si logran separarse en 2 grupos de igual casco los 25 entonces les daré libertad y su cadena será cancelada; a cada uno se le pondrá el casco individualmente y al azar sin que el portador del mismo sepa de que color es el casco recibido.
    Si los reos lograron salir ¿Cómo hicieron para separarse en 2 grupos de igual color de casco cada uno sin hacer ningún gesto ni hablar?
    Solución: publicada en la fecha miércoles 3 de noviembre
                                                                                                                       Ivo Goytizolo  4”D” SEC N°17

    domingo, 24 de octubre de 2010

    Euclides, Padre de la Geometría

    Matemático griego,pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es probable que Euclides se educara en Atenas, lo que explicaría con su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas.
    La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido así mismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizaje; Euclides, tras explicarle que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma, ordenó a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que éste tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios.
    Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote.

    A continuación compartimos un video relativo a esta entrada:
    http://www.youtube.com/watch?v=jLyCWqpZb-Q&p=3AC174E2AF8776FA&playnext=1&index=23 


    Objetivos de éste Proyecto

    Nosotros los creadores de este blog, como alumnos del Colegio San Agustín, nos sentimos muy orgullosos de haber hecho esta página web enfocada principalmente en la Geometría ( Sólidos) y Curiosidades Matemáticas.
    Nuestro principal objetivo sea como estudiantes y personas es nuestro progreso día a día ya sea con éste proyecto de Matemática 2 o con los obstáculos que se nos presentan día a día, dándonos fortaleza, entrega, seguridad y compromiso en nuestras acciones. Por ahora empezaremos a colgar información relacionada a Solidos, curiosidades y biografías de grandes personalidades del mundo matemático